Cálculo Exemplos

$y = {(1 - x)}^{2} \sinh (2 x)$

Etapa 1

Reescreva ${(1 - x)}^{2}$ como $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x) \sinh (2 x)]$

Etapa 2

Expanda $(1 - x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(1 (1 - x) - x (1 - x)) \sinh (2 x)]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) \sinh (2 x)]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

Etapa 3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - x (- x)) \sinh (2 x)]$

Etapa 3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) \sinh (2 x)]$

Etapa 3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) \sinh (2 x)]$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) \sinh (2 x)]$

Etapa 3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x + 1 x^{2}) \sinh (2 x)]$

Etapa 3.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x + x^{2}) \sinh (2 x)]$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - 2 x + x^{2}) \sinh (2 x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 - 2 x + x^{2}$ e $g (x) = \sinh (2 x)$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sinh (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Etapa 5.2

A derivada de $\sinh (u)$ em relação a $u$ é $\cosh (u)$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) (2 \cdot 1) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) \cdot 2 + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Etapa 6.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x)$ .

$2 \cdot ((1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x)) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Etapa 6.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.6

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) + 2 x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

Etapa 7.4

Combine os termos.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

Etapa 7.4.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 \cosh (2 x) - 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

Etapa 7.4.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $\sinh (2 x)$ .

$2 \cosh (2 x) - 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x) + \sinh (2 x) (2 x)$

Etapa 7.5

Reordene os termos.

$- 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + 2 x \sinh (2 x) + 2 \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x)$