Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{5 x - 3}$

Etapa 1.1.2

$\frac{A}{5 x - 3} + \frac{B}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(5 x - 3) (3 - 4 x)$ .

$\frac{1 (5 x - 3) (3 - 4 x)}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $5 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (5 x - 3) (3 - 4 x)}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $3 - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $5 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $(A) (3 - 4 x)$ por $1$ .

$1 = (A) (3 - 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 3 + A (- 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.6.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 3 \cdot A + A (- 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 3 \cdot A - 4 A x + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.6.5

Cancele o fator comum de $3 - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = 3 A - 4 A x + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Etapa 1.1.6.5.2

Divida $(B) (5 x - 3)$ por $1$ .

$1 = 3 A - 4 A x + (B) (5 x - 3)$

Etapa 1.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = 3 A - 4 A x + B (5 x) + B \cdot - 3$

Etapa 1.1.6.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 3 A - 4 A x + 5 B x + B \cdot - 3$

Etapa 1.1.6.8

Mova $- 3$ para a esquerda de $B$ .

$1 = 3 A - 4 A x + 5 B x - 3 B$

Etapa 1.1.7

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = 3 A - 4 x A + 5 B x - 3 B$

Etapa 1.1.7.2

Mova $B$ .

$1 = 3 A - 4 x A + 5 x B - 3 B$

Etapa 1.1.7.3

Mova $3 A$ .

$1 = - 4 x A + 5 x B + 3 A - 3 B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 4 A + 5 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 3 A - 3 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 4 A + 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

$0 = - 4 A + 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $0 = - 4 A + 5 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 4 A + 5 B = 0$ .

$- 4 A + 5 B = 0$

$1 = 3 A - 3 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $5 B$ dos dois lados da equação.

$- 4 A = - 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

Etapa 1.3.1.3

Divida cada termo em $- 4 A = - 5 B$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1

Divida cada termo em $- 4 A = - 5 B$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Etapa 1.3.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Etapa 1.3.1.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Etapa 1.3.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{5 B}{4}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = 3 A - 3 B$ por $\frac{5 B}{4}$ .

$1 = 3 (\frac{5 B}{4}) - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $3 (\frac{5 B}{4}) - 3 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Multiplique $3 (\frac{5 B}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Combine $3$ e $\frac{5 B}{4}$ .

$1 = \frac{3 (5 B)}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Para escrever $- 3 B$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B \cdot \frac{4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.3.1

Combine $- 3 B$ e $\frac{4}{4}$ .

$1 = \frac{15 B}{4} + \frac{- 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 = \frac{15 B - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{15 B - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.4.1

Fatore $3 B$ de $15 B - 3 B \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.4.1.1

Fatore $3 B$ de $15 B$ .

$1 = \frac{3 B (5) - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.1.2

Fatore $3 B$ de $- 3 B \cdot 4$ .

$1 = \frac{3 B (5) + 3 B (- 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.1.3

Fatore $3 B$ de $3 B (5) + 3 B (- 1 \cdot 4)$ .

$1 = \frac{3 B (5 - 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B (5 - 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$1 = \frac{3 B (5 - 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.3

Subtraia $4$ de $5$ .

$1 = \frac{3 B \cdot 1}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $1 = \frac{3 B}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $\frac{3 B}{4} = 1$ .

$\frac{3 B}{4} = 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4} = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.3.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.1

Simplifique $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4} = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.3.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.3.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 B$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 (B)) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{4}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = \frac{5 B}{4}$ por $\frac{4}{3}$ .

$A = \frac{5 (\frac{4}{3})}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $\frac{5 (\frac{4}{3})}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Combine $5$ e $\frac{4}{3}$ .

$A = \frac{\frac{5 \cdot 4}{3}}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$A = \frac{\frac{20}{3}}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Etapa 1.3.4.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$A = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Etapa 1.3.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$A = \frac{4 (5)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Etapa 1.3.4.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$A = \frac{4 \cdot 5}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Etapa 1.3.4.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{5}{3}, B = \frac{4}{3}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{5 x - 3} + \frac{B}{3 - 4 x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{5}{3}}{5 x - 3} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{5 x - 3} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $\frac{1}{5 x - 3}$ .

$\frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3 - 4 x}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{1}{3 - 4 x}$ .

$\int \frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{5}{3 (5 x - 3)} d x + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 3

Como $\frac{5}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{5}{3}$ para fora da integral.

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{5 x - 3} d x + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 5 x - 3$ . Depois, $d u_{1} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 5 x - 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $5 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 5.2

Mova $5$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{5}{3} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 7.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{5}{15} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $5$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{15} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 7.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Fatore $5$ de $15$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 7.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Etapa 9

Como $\frac{4}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{4}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 3 - 4 x$ . Depois, $d u_{2} = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 3 - 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Etapa 10.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 10.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 10.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Etapa 10.1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$0 - 4$

Etapa 10.1.4

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Etapa 11.2

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Etapa 11.3

Mova $4$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int - \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} (- \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2})$

Etapa 13

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

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Etapa 14.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 (1)}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.3.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 15

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 16

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x - 3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 x - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 - 4 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 x - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 - 4 x |) + C$