Cálculo Exemplos

$e^{x + y} = x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{x + y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x + y} (1 + y')$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $e^{x + y} (1 + y')$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y' = x y' + y$

Etapa 5.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.4.1

Multiplique $e^{x + y}$ por $1$ .

$e^{x + y} + e^{x + y} y' = x y' + y$

Etapa 5.1.4.2

Reordene os fatores em $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ .

$e^{x + y} + y' e^{x + y} = x y' + y$

Etapa 5.2

Subtraia $x y'$ dos dois lados da equação.

$e^{x + y} + y' e^{x + y} - x y' = y$

Etapa 5.3

Subtraia $e^{x + y}$ dos dois lados da equação.

$y' e^{x + y} - x y' = y - e^{x + y}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $y' e^{x + y} - x y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $y' e^{x + y}$ .

$y' (e^{x + y}) - x y' = y - e^{x + y}$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' (e^{x + y}) + y' (- x) = y - e^{x + y}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (e^{x + y}) + y' (- x)$ .

$y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ por $e^{x + y} - x$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ por $e^{x + y} - x$ .

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x + y} - x$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$