Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt[3]{3 - 2 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 1.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.2

Combine $\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 5.2

Combine $- \frac{u}{2}$ e $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 5.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \int - \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 5.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \int - \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 5.7

Some $3$ e $1$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 5.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 5.9

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} d u$

Etapa 5.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u$

Etapa 5.11

Reordene $- \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4}$ e $\frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$- \int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$- (\int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Etapa 7

Como $\frac{3}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{3}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Etapa 9

Combine $\frac{3}{4}$ e $u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u))$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{4}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{3}{7}$ e $u^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C))$

Etapa 13.2

Simplifique.

$- (\frac{9 u^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$- (\frac{9}{16} u^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} u^{\frac{7}{3}}) + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - 2 x$ .

$- (\frac{9}{16} {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1

Combine $\frac{9}{16}$ e ${(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

Etapa 16.1.2

Combine ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ e $\frac{3}{28}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{28}) + C$

Etapa 16.1.3

Mova $3$ para a esquerda de ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Etapa 16.2

Para escrever $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Etapa 16.3

Para escrever $- \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Etapa 16.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $112$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 16.4.1

Multiplique $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ por $\frac{7}{7}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{16 \cdot 7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Etapa 16.4.2

Multiplique $16$ por $7$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Etapa 16.4.3

Multiplique $\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{28 \cdot 4}) + C$

Etapa 16.4.4

Multiplique $28$ por $4$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112}) + C$

Etapa 16.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

Etapa 16.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.6.1

Multiplique $7$ por $9$ .

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

Etapa 16.6.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$- \frac{1}{112} (63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$