Cálculo Exemplos

$80 + \frac{4}{x + 1}$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $80 + \frac{4}{x + 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

Etapa 1.2

Como $80$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $80$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ .

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x + 1}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0))$

Etapa 2.7

Some $1$ e $0$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1)$

Etapa 2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2})$

Etapa 2.9

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$0 - 4 {(x + 1)}^{- 2}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 4}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Subtraia $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$