Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x} d x$

Etapa 1

Divida $x^{2} + 1$ por $x^{2} - x$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x + 0$ .

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} - x$ .

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x \cdot x - x}$

Etapa 4.1.1.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{x + 1}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

Etapa 4.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x + 1}{x (x - 1)}$

Etapa 4.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 4.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x - 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.5.2

Divida $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.6.1.2

Divida $A (x - 1)$ por $1$ .

$x + 1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.6.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.6.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$x + 1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.6.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 4.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$x + 1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.6.5.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$x + 1 = A x - A + (B) (x)$

$x + 1 = A x - A + B x$

Etapa 4.1.7

Mova $- A$ .

$x + 1 = A x + B x - A$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A$

Etapa 4.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 1 A$ .

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.1.2

Divida cada termo em $- 1 A = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 1 A = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.1.2.2.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A + B$ por $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Etapa 4.3.3

Resolva $B$ em $1 = - 1 + B$ .

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

Etapa 4.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

Etapa 4.3.3.2.2

Some $1$ e $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

Etapa 4.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = 2 A = - 1$

Etapa 4.3.5

Liste todas as soluções.

$B = 2, A = - 1$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x + C + \int - \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$x + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 9

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 9.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$