Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $\frac{1}{27}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = 9 x^{2} + 6$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x^{2} + 6$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x^{2} + 6$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Etapa 3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Etapa 3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Etapa 3.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Etapa 3.7

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Etapa 3.8

Multiplique $\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 27} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Etapa 3.9

Multiplique $2$ por $27$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Etapa 3.10

Fatore $3$ de $3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Etapa 3.11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.11.1

Fatore $3$ de $54$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Etapa 3.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Etapa 3.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Etapa 3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.13

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.15

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.16

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + 0)$

Etapa 3.17

Simplifique os termos.

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Etapa 3.17.1

Some $18 x$ e $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x)$

Etapa 3.17.2

Combine $18$ e $\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ .

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} x$

Etapa 3.17.3

Combine $\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ e $x$ .

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

Etapa 3.17.4

Cancele o fator comum.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

Etapa 3.17.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.17.5.1

Divida ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ por $1$ .

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 3.17.5.2

Reordene os fatores de ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$