Cálculo Exemplos

$\int \frac{6 x^{2} - 8 x + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $2$ de $6 x^{2} - 8 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) - 8 x + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Etapa 1.1.1.1.4

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Etapa 1.1.1.1.5

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) - 6 x^{2} + 9 x}$

Etapa 1.1.1.2.2

Fatore $3 x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x) + 9 x}$

Etapa 1.1.1.2.3

Fatore $3 x$ de $9 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x) + 3 x (3)}$

Etapa 1.1.1.2.4

Fatore $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2} - 2 x) + 3 x (3)}$

Etapa 1.1.1.2.5

Fatore $3 x$ de $3 x (x^{2} - 2 x) + 3 x (3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $3 x (x^{2} - 2 x + 3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x (x^{2} - 2 x + 3))}{x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x (x^{2} - 2 x + 3))}{x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x^{2} - 2 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $2 (3 x^{2} - 4 x + 3)$ por $1$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x + 3) = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.8.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.8.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.9.1.2

Divida $A (3 (x^{2} - 2 x + 3))$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = A (3 (x^{2} - 2 x + 3)) + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.9.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A (x^{2} - 2 x + 3) + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 A (- 2 x) + 3 A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.9.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 \cdot (- 2 A x) + 3 A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.9.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 \cdot (- 2 A x) + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.9.5

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.9.6

Cancele o fator comum de $x^{2} - 2 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.6.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.1.9.6.2

Divida $(B x + C) (3 x)$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + (B x + C) (3 x)$

Etapa 1.1.9.7

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x (3 x) + C (3 x)$

Etapa 1.1.9.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x \cdot x + C (3 x)$

Etapa 1.1.9.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x \cdot x + 3 C x$

Etapa 1.1.9.10

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.10.1

Mova $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B (x \cdot x) + 3 C x$

Etapa 1.1.9.10.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Etapa 1.1.10

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.1

Mova $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 A x + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Etapa 1.1.10.2

Mova $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Etapa 1.1.10.3

Mova $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 9 A + 3 x^{2} B + 3 C x$

Etapa 1.1.10.4

Mova $9 A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 3 x^{2} B + 3 C x + 9 A$

Etapa 1.1.10.5

Mova $- 6 x A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A + 3 x^{2} B - 6 x A + 3 C x + 9 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = 3 A + 3 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = 9 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 9 A$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 9 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $6 = 9 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $9 A = 6$ .

$9 A = 6$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $9 A = 6$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $9 A = 6$ por $9$ .

$\frac{9 A}{9} = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 A}{9} = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $6$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$A = \frac{3 (2)}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.1.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$A = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$A = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{2}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $6 = 3 A + 3 B$ por $\frac{2}{3}$ .

$6 = 3 (\frac{2}{3}) + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$6 = 3 (\frac{2}{3}) + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 8 = - 6 A + 3 C$ por $\frac{2}{3}$ .

$- 8 = - 6 (\frac{2}{3}) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1.1.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$- 8 = 3 (- 2) (\frac{2}{3}) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.2.4.1.1.2

Cancele o fator comum.

$- 8 = 3 \cdot (- 2 (\frac{2}{3})) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.2.4.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 8 = - 2 \cdot 2 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 2 \cdot 2 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.2.4.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.3

Resolva $C$ em $- 8 = - 4 + 3 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 4 + 3 C = - 8$ .

$- 4 + 3 C = - 8$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 C = - 8 + 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $- 8$ e $4$ .

$3 C = - 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$3 C = - 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $3 C = - 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $3 C = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 C}{3} = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- \frac{4}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $2 + 3 B = 6$ .

$2 + 3 B = 6$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 B = 6 - 2$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.4.2.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$3 B = 4$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$3 B = 4$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.4.3

Divida cada termo em $3 B = 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.1

Divida cada termo em $3 B = 4$ por $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 B}{3} = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.4.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{4}{3}, C = - \frac{4}{3}, A = \frac{2}{3}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 2 x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{\frac{4}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $3$ .

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Etapa 1.5.1.1

Multiplique $\frac{\frac{4}{3} x - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{4}{3} x - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Etapa 1.5.1.2

Combine.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x - \frac{4}{3})}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (- \frac{4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3}$ para o numerador.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (\frac{- 4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (\frac{- 4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.5.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3}) \cdot x - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.4.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 x - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.4.2

Fatore $4$ de $4 x - 4$ .

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Etapa 1.5.4.2.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x) - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.4.2.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.4.2.3

Fatore $4$ de $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.5

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3$ .

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Etapa 1.5.5.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Etapa 1.5.5.2

Fatore $3$ de $3 \cdot 3$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (3)}$

Etapa 1.5.5.3

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (3)}$

Etapa 1.5.5.4

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Etapa 1.5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Etapa 1.5.7

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{2}{3 x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2}{3 x} d x + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Etapa 3

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Etapa 5

Como $\frac{4}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{4}{3}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} d x$

Etapa 6

Deixe $u = x^{2} - 2 x + 3$ . Depois, $d u = (2 x - 2) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = (x - 1) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x^{2} - 2 x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x^{2} - 2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 3]$

Etapa 6.1.2

Diferencie.

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Etapa 6.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Etapa 6.1.4.2

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$2 x - 2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 7.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

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Etapa 9.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 (2)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{2}{3} \ln (| x |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 2 x + 3$ .

$\frac{2}{3} \ln (| x |) + \frac{2}{3} \ln (| x^{2} - 2 x + 3 |) + C$