Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{x + y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $x + y$ por $1$ .

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4.2.2

Combine os termos opostos em $x + y - x - x y'$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Some $y$ e $0$ .

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4.4

Fatore $- 1$ de $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4.5

Fatore $- 1$ de $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4.6

Fatore $- 1$ de $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4.7

Reescreva $- (x y' - y)$ como $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por ${(x + y)}^{2}$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(x + y)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ para o numerador.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- - y$ .

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Etapa 5.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

Etapa 5.2.1.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

Etapa 5.2.1.4

Mova $x$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva $- 1 y'$ como $- y'$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

Etapa 5.3.2

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.3.2.1

Some $y' x$ aos dois lados da equação.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.2.1

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.2.2.2

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.2.2.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.2.2.3.2

Some $x y$ e $y x$ .

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Etapa 5.3.2.2.3.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.2.2.3.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.2.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.2.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $y'$ de $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $y'$ de $2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $y'$ de $y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $y'$ de $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.3.6

Fatore $y'$ de $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Etapa 5.3.3.7

Fatore $y'$ de $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

Etapa 5.3.4

Divida cada termo em $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ por $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ e simplifique.

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Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ por $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

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Etapa 5.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Etapa 5.3.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$