Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} (x + 1))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} (x + 1)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) (2 x))$

Etapa 3.6

Mova $2$ para a esquerda de $x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + 2 \cdot (x + 1) x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 (x + 1) x)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 1) x)$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 4.4.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.1.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

Etapa 4.4.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x)$

Etapa 4.4.8

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$

Etapa 4.5

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

Etapa 4.6

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} + x^{2}$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2}}$

Etapa 4.6.2

Multiplique por $1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 4.6.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Etapa 4.7

Multiplique $3 x^{2} + 2 x$ por $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Etapa 4.8

Fatore $x$ de $3 x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 4.8.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Etapa 4.8.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x^{2} (x + 1)}$

Etapa 4.8.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (3 x + 2)}{x^{2} (x + 1)}$

Etapa 4.9

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.9.1

Fatore $x$ de $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Etapa 4.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Etapa 4.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1)}$