Cálculo Exemplos

$x^{2} = e^{x - y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 3.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x = e^{x - y} (1 - y')$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ .

$e^{x - y} (1 - y') = 2 x$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ por $e^{x - y}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ por $e^{x - y}$ .

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x - y}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $1 - y'$ por $1$ .

$1 - y' = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y'}{1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.4.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}}$ como $- \frac{2 x}{e^{x - y}}$ .

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.4.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$