Cálculo Exemplos

$f (x) = 12 x - x^{3}$ , $[0, 3]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 - (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$12 - 3 x^{2}$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 12$ .

$- 3 x^{2} + 12$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 12 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = - 12$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 12$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 12$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12}{- 3}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $- 12$ por $- 3$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.2.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $12 x - x^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$12 (2) - {(2)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$24 - {(2)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$24 - 1 \cdot 8$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$24 - 8$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $8$ de $24$ .

$16$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$12 (- 2) - {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$- 24 - {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 24 - - 8$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$- 24 + 8$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $- 24$ e $8$ .

$- 16$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(2, 16), (- 2, - 16)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(2, 16)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$12 (0) - {(0)}^{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - {(0)}^{3}$

Etapa 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 0$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$12 (3) - {(3)}^{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $12$ por $3$ .

$36 - {(3)}^{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$36 - 1 \cdot 27$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$36 - 27$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $27$ de $36$ .

$9$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (3, 9)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(2, 16)$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Etapa 5