Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}})$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}]$ como $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2})}]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 3

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Eleve $x^{2} + y^{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Etapa 3.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 10

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 11

Multiplique $\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 13

Fatore $3$ de $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 14

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 17

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Etapa 18

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Etapa 18.2

Combine $2$ e $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Etapa 18.3

Combine $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Etapa 18.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Etapa 18.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.1

Divida ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ por $1$ .

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 18.5.2

Reordene os fatores de ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$