Cálculo Exemplos

$y = \frac{2}{\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}$ como ${(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}$ .

$y = \frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 4.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$

Etapa 4.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ como ${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}]$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6} \cdot - 1}]$

Etapa 4.1.2.2.2

Combine $\frac{1}{6}$ e $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{6}}]$

Etapa 4.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{6}}$ e $g (x) = 5 x^{2} - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{2} - 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{6}$ .

$2 (- \frac{1}{6} u^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2} - 1$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.6.2

Subtraia $6$ de $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.8

Combine ${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$2 (- \frac{{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.9.1

Mova ${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.9.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 4.11

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 4.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.1

Fatore $2$ de $6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 4.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 4.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 4.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Etapa 4.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.15

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.17

Multiplique $2$ por $5$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.18

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + 0)$

Etapa 4.19

Combine frações.

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Etapa 4.19.1

Some $10 x$ e $0$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x)$

Etapa 4.19.2

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$- 10 \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

Etapa 4.19.3

Combine $- 10$ e $\frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

Etapa 4.19.4

Combine $\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ e $x$ .

$\frac{- 10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 4.19.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$