Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{a} 9 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = a^{2} - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = a^{2} - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a^{2} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $a^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 2.1.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $a^{2}$ e $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Etapa 2.5

Subtraia $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$9 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 3.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$9 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 9 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 9 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 9$ .

$\frac{- 9}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Etapa 7.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Etapa 7.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{9}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{9}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $0$ e em $a^{2}$ .

$- \frac{9}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.2.5

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.2.6

Multiplique os expoentes em ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 9.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 9.2.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 9.2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{9}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Etapa 9.2.7

Subtraia $\frac{2}{3} a^{3}$ de $0$ .

$- \frac{9}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Etapa 9.2.8

Combine $a^{3}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{9}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Etapa 9.2.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{9}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Etapa 9.2.10

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Etapa 9.2.11

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{9 (a^{3} \cdot 2)}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.2.12

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{18 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.2.13

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{18 a^{3}}{6}$

Etapa 9.2.14

Cancele o fator comum de $18$ e $6$ .

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Etapa 9.2.14.1

Fatore $6$ de $18 a^{3}$ .

$\frac{6 (3 a^{3})}{6}$

Etapa 9.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.14.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{6 (3 a^{3})}{6 (1)}$

Etapa 9.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (3 a^{3})}{6 \cdot 1}$

Etapa 9.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 a^{3}}{1}$

Etapa 9.2.14.2.4

Divida $3 a^{3}$ por $1$ .

$3 a^{3}$