Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}} d x$

Etapa 1

Reescreva $\frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}}$ como $\frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}}$ .

$\int \frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{x^{3} (\ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 2 + x^{4}$ . Depois, $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 2 + x^{4}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $2 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{4}]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Etapa 3.1.5

Some $0$ e $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

Etapa 4.2

Mova $4$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , então, $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Etapa 7.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 9.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 + x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (2 + x^{4}) + C$