Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}}{x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{4} - 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{4} - 4 \cdot 0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.6.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{4} - 4 \cdot 0^{3} + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0^{3} + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0 + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.7.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{3} + 0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{3} + 0^{2} + 0}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 0^{2} + 0}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Etapa 1.1.3.5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.5.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}}{x^{3} + x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 2.5

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 2.6

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 2.7

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.9

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.10

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.11

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.12

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0 - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 - 12 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.1.6

Some $0 + 0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.1.7

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

Etapa 4.2.4

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Etapa 4.2.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 4.3

Divida $0$ por $1$ .

$0$