Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{x^{3}} \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = \sqrt{x^{3}}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{2}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{5}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $x^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int \frac{x^{\frac{5}{2}}}{x} d x)$

Etapa 4.2

Mova $x^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2}} x^{- 1} d x)$

Etapa 4.3

Multiplique $x^{\frac{5}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} - 1} d x)$

Etapa 4.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

Etapa 4.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5 - 2}{2}} d x)$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{2 \ln (x)}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 6.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4}{5 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 6.2.5

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4}{25} x^{\frac{5}{2}} + C$

$\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{25} x^{\frac{5}{2}} + C$