Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x + e^{2 x}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 2 x + e^{2 x} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x d x + \int e^{2 x} d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x d x + \int e^{2 x} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{2 x} d x$

Etapa 6

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 7.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 2 x + e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$