Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$

Etapa 1

Calcule a derivada de $\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1 \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x} \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Etapa 4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{x} \sin (2 (4 x))$

Etapa 5

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{x} \sin (8 x)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sin (8 x)$ .

$\frac{\sin (8 x)}{x}$