Cálculo Exemplos

$f (t) = t^{- 4}$ ;, $(\frac{1}{2}, 16)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $t = \frac{1}{2}$ e $y = 16$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- 4 t^{- 5}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{t^{5}}$

Etapa 1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{- 4}{t^{5}}$

Etapa 1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{t^{5}}$

Etapa 1.3

Avalie a derivada em $t = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{{(\frac{1}{2})}^{5}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{\frac{1^{5}}{2^{5}}}$

Etapa 1.4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4}{\frac{1}{2^{5}}}$

Etapa 1.4.1.3

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$- \frac{4}{\frac{1}{32}}$

Etapa 1.4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (4 \cdot 32)$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- (4 \cdot 32)$ .

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $4$ por $32$ .

$- 1 \cdot 128$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique $- 1$ por $128$ .

$- 128$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 128$ e um ponto determinado $(\frac{1}{2}, 16)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = - 128 \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 16 = - 128 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 128 \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 16 = 0 + 0 - 128 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 16 = - 128 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 16 = - 128 x - 128 (- \frac{1}{2})$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$y - 16 = - 128 x - 128 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 2.3.1.4.2

Fatore $2$ de $- 128$ .

$y - 16 = - 128 x + 2 (- 64) \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y - 16 = - 128 x + 2 \cdot - 64 \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y - 16 = - 128 x - 64 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 64$ por $- 1$ .

$y - 16 = - 128 x + 64$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$y = - 128 x + 64 + 16$

Etapa 2.3.2.2

Some $64$ e $16$ .

$y = - 128 x + 80$

Etapa 3