Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (x) - \sin (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin^{2} (x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x)$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \cos (x)$

Etapa 4.2.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \cos (x)$

Etapa 4.2.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) - \cos (x)$