Cálculo Exemplos

$\int \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Depois, $d u_{2} = - \tan (x) d x$ , então, $- d u_{2} = \tan (x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.1

Reordene os fatores de $\sec (x) (- \sin (x))$ .

$- \sec (x) \sin (x)$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Etapa 1.1.5.3

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.5.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (\cos (x))$ .

$- \ln (| \ln (\cos (x)) |) + C$