Cálculo Exemplos

$\int \frac{x + 3}{4 x + 4} d x$

Etapa 1

Divida $x + 3$ por $4 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 x$

$4$

$x$

$3$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			+	$x$	+	$1$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$
					+	$2$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int \frac{1}{4} + \frac{2}{4 x + 4} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2}{4 x + 4} d x$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $2$ e $4 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{4 x + 4} d x$

Etapa 3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x) + 4} d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x) + 2 \cdot 2} d x$

Etapa 3.2.3

Fatore $2$ de $2 (2 x) + 2 (2)$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x + 2)} d x$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x + 2)} d x$

Etapa 3.2.5

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x + 2$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 2$ .

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$