Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$

Etapa 1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{3} (3 \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 3.2

Combine $\cos^{2} (2 x)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 3.3

Mova $3$ para a esquerda de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 3.4.2

Divida $\cos^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\cos^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 5.4.2

Reordene os fatores de $\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ .

$- 2 \cos^{2} (2 x) \sin (2 x)$