Cálculo Exemplos

$\frac{80 \sin (0.6 t)}{t} + 15$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{80 \sin (0.6 t)}{t} + 15$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}]$ .

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Etapa 2.1

Como $80$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}$ em relação a $t$ é $80 \frac{d}{d t} [\frac{\sin (0.6 t)}{t}]$ .

$80 \frac{d}{d t} [\frac{\sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = \sin (0.6 t)$ e $g (t) = t$ .

$80 \frac{t \frac{d}{d t} [\sin (0.6 t)] - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 0.6 t$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $0.6 t$ .

$80 \frac{t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$80 \frac{t (\cos (u) \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $0.6 t$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.4

Como $0.6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.6 t$ em relação a $t$ é $0.6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \frac{d}{d t} [t])) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \cdot 1)) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \cdot 1)) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.7

Multiplique $0.6$ por $1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) \cdot 0.6) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.8

Mova $0.6$ para a esquerda de $\cos (0.6 t)$ .

$80 \frac{t (0.6 \cdot \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$80 \frac{t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t)}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 2.10

Combine $80$ e $\frac{t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t)}{t^{2}}$ .

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t))}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Etapa 3

Como $15$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $15$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t))) + 80 (- \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $0.6$ por $80$ .

$\frac{48 (t (\cos (0.6 t))) + 80 (- \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $80$ .

$\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}} + 0$

Etapa 4.2.3

Some $\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$ e $0$ .

$\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$

Etapa 4.3

Fatore $16$ de $48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $16$ de $48 t \cos (0.6 t)$ .

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t)) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$

Etapa 4.3.2

Fatore $16$ de $- 80 \sin (0.6 t)$ .

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t)) + 16 (- 5 \sin (0.6 t))}{t^{2}}$

Etapa 4.3.3

Fatore $16$ de $16 (3 t \cos (0.6 t)) + 16 (- 5 \sin (0.6 t))$ .

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t) - 5 \sin (0.6 t))}{t^{2}}$