Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} - x \ln (x)$

Etapa 1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Etapa 2

Reescreva $x \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Etapa 3.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (x)$ diminui sem limites.

$- \frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Etapa 3.1.3

Como o numerador é uma constante e o denominador se aproxima de $0$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima do infinito.

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

Etapa 3.3.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}$

Etapa 3.5

Combine $\frac{1}{x}$ e $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

Etapa 3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Etapa 3.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Etapa 3.6.2.3

Cancele o fator comum.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Etapa 3.6.2.4

Reescreva a expressão.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

Etapa 3.6.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - x$

Etapa 4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$1 lim_{x \to 0^{+}} x$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- 0$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$