Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 5}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 5})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - 2 x^{2}$ e $g (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}] - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 2 (2 x)) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.12.1

Some $4 x$ e $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.12.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - 4 (1 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) - 4 (1 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) + (- 4 \cdot 1 - 4 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot - 4 x^{2} x - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \cdot - 4 x^{1 + 2} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot - 4 x^{3} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.6.1

Mova $x$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 (x \cdot x^{2}))}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 (x^{1} x^{2}))}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{1 + 2})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.6.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{3})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.7

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x + 8 x^{3}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Combine os termos opostos em $- 8 x^{3} + 20 x - 4 x + 8 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Some $- 8 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$\frac{20 x - 4 x + 0}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2.2

Some $20 x - 4 x$ e $0$ .

$\frac{20 x - 4 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.3

Subtraia $4 x$ de $20 x$ .

$\frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$