Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 7}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3}$ é positivo.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t))}^{2} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t))}^{2} - 7}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Combine $\frac{\sqrt{7}}{3}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3})}^{2} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{(\sqrt{7} \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.2.2

Aplique a regra do produto a $\sqrt{7} \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{\sqrt{7}}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.3

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{1} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.3.5

Avalie o expoente.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{9} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.5

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{9} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \sec^{2} (t) - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $7$ de $7 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 (\sec^{2} (t)) - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $7$ de $- 7$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \sec^{2} (t) + 7 \cdot - 1}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $7$ de $7 \sec^{2} (t) + 7 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.6

Reordene $7$ e $\tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) (\tan (t) \sqrt{7})} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{\sqrt{7}}{3}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3} (\tan (t) \sqrt{7})} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.2

Combine $\tan (t)$ e $\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t))}{3} \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t))}{3}$ e $\sqrt{7}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t)) \sqrt{7}}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.4

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.5

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1 + 1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.7

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.8

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 2.2.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.8.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.8.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.8.5

Avalie o expoente.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7 \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.9

Mova $7$ para a esquerda de $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{7 \cdot \tan (t) \sec (t)}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.10

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{7 \tan (t) \sec (t)}{3}$ .

$\int 1 \frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)} \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.11

Multiplique $\frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)}$ por $1$ .

$\int \frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Etapa 2.2.12

Multiplique $\frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)}$ por $\frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{7 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

Etapa 2.2.13

Multiplique $3$ por $7$ .

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{21 \tan (t) \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.14.1

Fatore $3$ de $21 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{3 (7 \tan (t) \sec (t))} d t$

Etapa 2.2.14.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{3 (7 \tan (t) \sec (t))} d t$

Etapa 2.2.14.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{7 \tan (t) \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.15

Cancele o fator comum de $\sec (t)$ .

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Etapa 2.2.15.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{7 \tan (t) \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.15.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sqrt{7} \tan (t)}{7 \tan (t)} d t$

Etapa 2.2.16

Cancele o fator comum de $\tan (t)$ .

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Etapa 2.2.16.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sqrt{7} \tan (t)}{7 \tan (t)} d t$

Etapa 2.2.16.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{3 x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{\sqrt{7}}{7} arcsec (\frac{3 x}{\sqrt{7}}) + C$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$\frac{\sqrt{7}}{7} arcsec (\frac{3}{\sqrt{7}} x) + C$