Cálculo Exemplos

$\sin (3 x + \frac{π}{6})$

Etapa 1

Escreva $\sin (3 x + \frac{π}{6})$ como uma função.

$f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (3 x + \frac{π}{6}) d x$

Etapa 4

Deixe $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $3 x + \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + \frac{π}{6}]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + \frac{π}{6}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $\frac{π}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{6}$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 5

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Etapa 7

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + \frac{π}{6}$ .

$- \frac{\cos (3 x + \frac{π}{6})}{3} + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$