Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 3.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 3.1.4.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Etapa 3.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Etapa 3.6

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Avalie $- \frac{u_{2}}{2}$ em $e^{- t^{2}}$ e em $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ como um produto.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Etapa 6.2.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $e$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

Etapa 7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

Etapa 7.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Etapa 7.1.3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Etapa 7.2

Como o expoente $- t^{2}$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- t^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Etapa 7.3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Avalie o limite de $\frac{1}{2 e}$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

Etapa 7.3.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

Etapa 7.3.2.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

Etapa 7.3.2.2

Some $0$ e $\frac{1}{2 e}$ .

$4 \frac{1}{2 e}$

Etapa 7.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

Etapa 7.3.2.3.2

Fatore $2$ de $2 e$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

Etapa 7.3.2.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

Etapa 7.3.2.3.4

Reescreva a expressão.

$2 \frac{1}{e}$

Etapa 7.3.2.4

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{e}$

Forma decimal:

$0.73575888 \dots$