Cálculo Exemplos

$- 2 e^{3 x} \sin (2 x) + 3 e^{3 x} \cos (2 x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 e^{3 x} \sin (2 x) + 3 e^{3 x} \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 e^{3 x} \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{3 x}$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$- 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.10

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.11

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{3 x} \cdot 3)) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 2.12

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{3 x} \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \cos (2 x)]$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \cos (2 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{3 x}$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\cos (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \sin (u_{3})$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ é $a^{u_{4}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [3 x]))$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]))$

Etapa 3.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

Etapa 3.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

Etapa 3.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

Etapa 3.11

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \cdot 3))$

Etapa 3.12

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 (e^{3 x} (\cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Etapa 4.3.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 (\sin (2 x) (e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 \sin (2 x) e^{3 x} - 6 (e^{3 x} (\sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Etapa 4.3.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 \sin (2 x) e^{3 x} - 6 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 (\cos (2 x) (e^{3 x}))$

Etapa 4.3.5

Subtraia $6 e^{3 x} \sin (2 x)$ de $- 6 \sin (2 x) e^{3 x}$ .

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Etapa 4.3.5.1

Mova $\sin (2 x)$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 e^{3 x} \sin (2 x) - 6 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 \cos (2 x) e^{3 x}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $6 e^{3 x} \sin (2 x)$ de $- 6 e^{3 x} \sin (2 x)$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 \cos (2 x) e^{3 x}$

Etapa 4.3.6

Some $- 4 e^{3 x} \cos (2 x)$ e $9 \cos (2 x) e^{3 x}$ .

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Etapa 4.3.6.1

Mova $\cos (2 x)$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) + 9 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x)$

Etapa 4.3.6.2

Some $- 4 e^{3 x} \cos (2 x)$ e $9 e^{3 x} \cos (2 x)$ .

$5 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x)$