Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 x^{4} + 3}{4 x^{5} + 15 x + 2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x^{5} + 15 x + 2$ . Depois, $d u = (20 x^{4} + 15) d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = (4 x^{4} + 3) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x^{5} + 15 x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x^{5} + 15 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{5} + 15 x + 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{5} + 15 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{5}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$20 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 x^{4} + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $15$ por $1$ .

$20 x^{4} + 15 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 x^{4} + 15 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $20 x^{4} + 15$ e $0$ .

$20 x^{4} + 15$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

Etapa 2.2

Mova $5$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{5 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{5} + 15 x + 2$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 x^{5} + 15 x + 2 |) + C$