Cálculo Exemplos

$\frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{2 \sqrt{x}}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2 \sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5.2.2

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Etapa 5.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.3.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 5.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 5.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 5.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Reescreva $2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ como $2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{2 \sqrt{x}}{x}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{1}{2}} + C$