Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.2.3

Combine $3$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{12}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $3$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.2.6.2.4

Divida $4 x^{2}$ por $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{2} + 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$4 x^{2} + 14 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- 42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 42$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $4 x^{2} + 14 x - 8$ e $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 14 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $14$ por $1$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $8 x + 14$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 x + 14$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.2.5

Combine $\frac{12}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Fatore $3$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.2.6.2.4

Divida $4 x^{2}$ por $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{2} + 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$4 x^{2} + 14 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $- 42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 42$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $4 x^{2} + 14 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} + 14 x - 8$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{2} + 14 x - 8$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{2} + 14 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) + 14 x - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $2$ de $14 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (7 x) - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $2$ de $- 8$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (7 x)$ .

$2 (2 x^{2} + 7 x) + 2 (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2} + 7 x) + 2 (- 4)$ .

$2 (2 x^{2} + 7 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ e cuja soma é $b = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$2 (2 x^{2} + 7 (x) - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva $7$ como $- 1$ mais $8$

$2 (2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 ((2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)) = 0$

Etapa 5.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$2 ((2 x - 1) (x + 4)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (2 x - 1) (x + 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (2 x - 1) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$8 (\frac{1}{2}) + 14$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{1}{2} + 14$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{1}{2} + 14$

Etapa 9.1.3

Reescreva a expressão.

$4 + 14$

Etapa 9.2

Some $4$ e $14$ .

$18$

Etapa 10

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.2

Combine.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 8} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3 \cdot 8} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{24} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.7

Cancele o fator comum de $4$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 (1)}{24} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.2.1

Fatore $4$ de $24$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.8

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1}{2^{2}}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1}{4}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.11

Combine $7$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.12

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.12.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} + 2 (- 4) (\frac{1}{2}) - 42$

Etapa 11.2.1.12.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2})) - 42$

Etapa 11.2.1.12.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

Etapa 11.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $\frac{7}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{3} - 4 - 42$

Etapa 11.2.2.4

Multiplique $\frac{7}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} - 4 - 42$

Etapa 11.2.2.5

Escreva $- 4$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} - 42$

Etapa 11.2.2.6

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{12}{12} - 42$

Etapa 11.2.2.7

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} - 42$

Etapa 11.2.2.8

Escreva $- 42$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42}{1}$

Etapa 11.2.2.9

Multiplique $\frac{- 42}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Etapa 11.2.2.10

Multiplique $\frac{- 42}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Etapa 11.2.2.11

Reordene os fatores de $6 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 6} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Etapa 11.2.2.12

Multiplique $2$ por $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Etapa 11.2.2.13

Reordene os fatores de $4 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Etapa 11.2.2.14

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{12} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 7 \cdot 3 - 4 \cdot 12 - 42 \cdot 12}{12}$

Etapa 11.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.4.1

Multiplique $7$ por $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 4 \cdot 12 - 42 \cdot 12}{12}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 48 - 42 \cdot 12}{12}$

Etapa 11.2.4.3

Multiplique $- 42$ por $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 48 - 504}{12}$

Etapa 11.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.5.1

Some $2$ e $21$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{23 - 48 - 504}{12}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $48$ de $23$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 25 - 504}{12}$

Etapa 11.2.5.3

Subtraia $504$ de $- 25$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 529}{12}$

Etapa 11.2.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{529}{12}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $- \frac{529}{12}$ .

$y = - \frac{529}{12}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$8 (- 4) + 14$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique $8$ por $- 4$ .

$- 32 + 14$

Etapa 13.2

Some $- 32$ e $14$ .

$- 18$

Etapa 14

$x = - 4$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 4$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 4$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = \frac{4}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f (- 4) = \frac{4}{3} \cdot - 64 + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $\frac{4}{3} \cdot - 64$ .

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Etapa 15.2.1.2.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $- 64$ .

$f (- 4) = \frac{4 \cdot - 64}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Etapa 15.2.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 64$ .

$f (- 4) = \frac{- 256}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Etapa 15.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 7 \cdot 16 - 8 \cdot - 4 - 42$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $7$ por $16$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 112 - 8 \cdot - 4 - 42$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 112 + 32 - 42$

Etapa 15.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 15.2.2.1

Escreva $112$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112}{1} + 32 - 42$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{112}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112}{1} \cdot \frac{3}{3} + 32 - 42$

Etapa 15.2.2.3

Multiplique $\frac{112}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + 32 - 42$

Etapa 15.2.2.4

Escreva $32$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32}{1} - 42$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $\frac{32}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 42$

Etapa 15.2.2.6

Multiplique $\frac{32}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 42$

Etapa 15.2.2.7

Escreva $- 42$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42}{1}$

Etapa 15.2.2.8

Multiplique $\frac{- 42}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 15.2.2.9

Multiplique $\frac{- 42}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42 \cdot 3}{3}$

Etapa 15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 4) = \frac{- 256 + 112 \cdot 3 + 32 \cdot 3 - 42 \cdot 3}{3}$

Etapa 15.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Multiplique $112$ por $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 32 \cdot 3 - 42 \cdot 3}{3}$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $32$ por $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 96 - 42 \cdot 3}{3}$

Etapa 15.2.4.3

Multiplique $- 42$ por $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 96 - 126}{3}$

Etapa 15.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Some $- 256$ e $336$ .

$f (- 4) = \frac{80 + 96 - 126}{3}$

Etapa 15.2.5.2

Some $80$ e $96$ .

$f (- 4) = \frac{176 - 126}{3}$

Etapa 15.2.5.3

Subtraia $126$ de $176$ .

$f (- 4) = \frac{50}{3}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $\frac{50}{3}$ .

$y = \frac{50}{3}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{529}{12})$ é um mínimo local

$(- 4, \frac{50}{3})$ é um máximo local

Etapa 17