Cálculo Exemplos

$\int \ln (1 + x^{2}) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (1 + x^{2})$ e $d v = 1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.5

Some $1$ e $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (1 + x^{2}) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Divida $x^{2}$ por $x^{2} + 1$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Etapa 5.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Etapa 9.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

Etapa 11

Simplifique.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$