Cálculo Exemplos

$y = \sin (6 x) \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (6 x) \cos^{2} (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (6 x)$ e $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$\sin (6 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\sin (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\sin (6 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$\sin (6 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (6 x)$ .

$2 \cdot \sin (6 x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Etapa 3.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 \sin (6 x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $6 x$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 3.6.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 x$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 3.7

Diferencie.

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Etapa 3.7.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

Etapa 3.7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.3.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) \cdot 6$

Etapa 3.7.3.2

Mova $6$ para a esquerda de $\cos^{2} (x) \cos (6 x)$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + 6 \cdot (\cos^{2} (x) \cos (6 x))$

Etapa 3.7.3.3

Reordene os termos.

$- 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$