Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 4 x - 6$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 4 x - 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $4 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{e^{u}}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$\frac{2}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 10

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 \int x^{3} d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 12.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

Etapa 12.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Etapa 12.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Etapa 12.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

Etapa 12.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} e^{u} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 6$ .

$\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$