Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 5 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.1.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\int 5 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int 5 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\int \frac{5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{5 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{5 \cdot 1 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.4.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$\int \frac{5 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.4.3

Subtraia $3$ de $5$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Reordene $1$ e $x^{2}$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Divida $5 x^{2} + 2$ por $x^{2} + 1$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$5$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{2} + 0 + 5$ .

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$3$

Etapa 5.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 5 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 5 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$5 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 9

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$5 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 10.2

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 10.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$5 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$5 x - 3 \arctan (x) + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$F (x) =$ $5 x - 3 \arctan (x) + C$