Cálculo Exemplos

$\int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{3 x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = \frac{2}{x}$ . Depois, $d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ , então, $1 d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \frac{2}{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.1.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Etapa 2.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Etapa 2.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.1.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.1.6.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.6.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Etapa 2.1.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $- \frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$- \frac{1}{6} e^{u} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{1}{6} e^{\frac{2}{x}} + C$