Cálculo Exemplos

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Escreva $1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ como uma função.

$f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Etapa 6

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 6.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \cdot 2 d u$

Etapa 7.3

Mova $2$ para a esquerda de $\tan^{2} (u)$ .

$x + C + \int 2 \tan^{2} (u) d u$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$x + C + 2 \int \tan^{2} (u) d u$

Etapa 9

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (u)$ como $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$x + C + 2 \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$x + C + 2 (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$x + C + 2 (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Etapa 12

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$x + C + 2 (- u + C + \tan (u) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$x - 2 u + 2 \tan (u) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$x - 2 \frac{x}{2} + 2 \tan (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$