Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{6 x + 2}{(x + 1) (2 x + 1)} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $2$ de $6 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x) + 2}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 x) + 2 (1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{2 (3 x + 1) (x + 1) (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x + 1) (x + 1) (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $2 (3 x + 1)$ por $1$ .

$2 (3 x + 1) = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (3 x) + 2 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.8

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x + 2 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 x + 2 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$6 x + 2 = \frac{A (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.9.1.2

Divida $(A) (2 x + 1)$ por $1$ .

$6 x + 2 = (A) (2 x + 1) + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x + 2 = A (2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.9.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x + 2 = 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.9.4

Multiplique $A$ por $1$ .

$6 x + 2 = 2 A x + A + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.9.5

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.5.1

Cancele o fator comum.

$6 x + 2 = 2 A x + A + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.1.9.5.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$6 x + 2 = 2 A x + A + (B) (x + 1)$

Etapa 1.1.9.6

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x + 2 = 2 A x + A + B x + B \cdot 1$

Etapa 1.1.9.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$6 x + 2 = 2 A x + A + B x + B$

Etapa 1.1.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.1

Mova $A$ .

$6 x + 2 = 2 x A + A + B x + B$

Etapa 1.1.10.2

Reordene $B$ e $x$ .

$6 x + 2 = 2 x A + A + B x + B$

Etapa 1.1.10.3

Mova $A$ .

$6 x + 2 = 2 x A + B x + A + B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = 2 A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$6 = 2 A + B$

$2 = A + B$

$6 = 2 A + B$

$2 = A + B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $B$ em $6 = 2 A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $2 A + B = 6$ .

$2 A + B = 6$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $2 A$ dos dois lados da equação.

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + B$

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $6 - 2 A$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $2 = A + B$ por $6 - 2 A$ .

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $2 = A + 6 - 2 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Remova os parênteses.

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

Etapa 1.3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.2.1

Subtraia $2 A$ de $A$ .

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

Etapa 1.3.3

Resolva $A$ em $2 = - A + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- A + 6 = 2$ .

$- A + 6 = 2$

$B = 6 - 2 A$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- A = 2 - 6$

$B = 6 - 2 A$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $6$ de $2$ .

$- A = - 4$

$B = 6 - 2 A$

$- A = - 4$

$B = 6 - 2 A$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $- A = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- A = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- A}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

Etapa 1.3.3.3.2.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $4$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $B = 6 - 2 A$ por $4$ .

$B = 6 - 2 \cdot 4$

$A = 4$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $6 - 2 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$B = 6 - 8$

$A = 4$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Subtraia $8$ de $6$ .

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - 2, A = 4$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{2 x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{4}{x + 1} + \frac{- 2}{2 x + 1}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{0}^{1} \frac{4}{x + 1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} \frac{4}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 4.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$4 \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Etapa 8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = 2 x + 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 9.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 9.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 9.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 9.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Etapa 9.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Etapa 9.5.2

Some $2$ e $1$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 9.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Etapa 9.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 10.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{- 2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12.2.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{- 1}{1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{3})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Avalie $\ln (| u_{1} |)$ em $2$ e em $1$ .

$4 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{3})$

Etapa 14.2

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $3$ e em $1$ .

$4 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 14.3

Remova os parênteses.

$4 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 15.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Etapa 16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$4 \ln (\frac{2}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Etapa 16.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$4 \ln (\frac{2}{1}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Etapa 16.3

Divida $2$ por $1$ .

$4 \ln (2) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Etapa 16.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$4 \ln (2) - \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Etapa 16.5

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$4 \ln (2) - \ln (\frac{3}{1})$

Etapa 16.6

Divida $3$ por $1$ .

$4 \ln (2) - \ln (3)$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$4 \ln (2) - \ln (3)$

Forma decimal:

$1.67397643 \dots$

Etapa 18