Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.2.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{4} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} (5 x^{4})$

Etapa 1.5.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - 5 (\frac{1}{4}) x^{4}$

Etapa 1.5.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{4}$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5}{4} x^{4}$

Etapa 1.5.5

Combine $\frac{- 5}{4}$ e $x^{4}$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5 x^{4}}{4}$

Etapa 1.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{5 x^{4}}{4}$

Etapa 1.6

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- \frac{5}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5 x^{4}}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{5}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$\frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.6

Combine $\frac{- 20}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.7

Cancele o fator comum de $- 20$ e $4$ .

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Etapa 2.2.7.1

Fatore $4$ de $- 20 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.7.2.4

Divida $- 5 x^{3}$ por $1$ .

$- 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 5 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + 0$

Etapa 2.4.3

Some $- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$