Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{12}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Etapa 1

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 9}} d x$

Etapa 2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}} d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)$

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Etapa 4.1.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| x |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Etapa 4.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $arcsec (| x |)$ .

$12 (\frac{arcsec (| x |)}{3}]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{arcsec (| x |)}{3}$ em $2$ e em $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$12 (\frac{arcsec (| 2 |)}{3} - \frac{arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 \frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$12 \frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $arcsec (2)$ é $\frac{π}{3}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Etapa 5.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ é aproximadamente $1.15470053$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})}{3}$

Etapa 5.2.4

O valor exato de $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{6}}{3}$

Etapa 5.3

Para escrever $\frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}}{3}$

Etapa 5.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}}{3}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}}{3}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 \frac{\frac{π \cdot 2 - π}{6}}{3}$

Etapa 5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$12 \frac{\frac{2 \cdot π - π}{6}}{3}$

Etapa 5.6.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$12 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Etapa 5.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.7.1

Fatore $3$ de $12$ .

$3 (4) \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 4 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Etapa 5.7.3

Reescreva a expressão.

$4 \frac{π}{6}$

Etapa 5.8

Combine $4$ e $\frac{π}{6}$ .

$\frac{4 π}{6}$

Etapa 5.9

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

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Etapa 5.9.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$\frac{2 (2 π)}{6}$

Etapa 5.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.9.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Etapa 5.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 π}{3}$

Forma decimal:

$2.09439510 \dots$

Etapa 7