Cálculo Exemplos

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Depois, $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - \cos^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 2.1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 2.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 2.1.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Some $0$ e $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.1.4.2

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Etapa 2.1.4.3

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Etapa 2.1.4.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 6}$ com relação a $u_{2}$ é $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ .

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique.

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Etapa 4.1.1

Combine ${u_{2}}^{- 5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

Etapa 4.1.2

Mova ${u_{2}}^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

Etapa 4.2

Simplifique.

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Etapa 4.3.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ .

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Etapa 4.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.3.2.1

Fatore $5$ de $5 {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

Etapa 4.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Etapa 4.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Etapa 4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 - \cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$