Cálculo Exemplos

$\int x (3 x + 2) (x - 3) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u + 3) (3 (u + 3) + 2) u d u$

$\int (u + 3) (3 (u + 3) + 2) u d u$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u + 3) (3 u + 3 \cdot 3 + 2) u d u$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u (3 u + 3 \cdot 3 + 2) + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u (3 u + 3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Etapa 2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Etapa 2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Etapa 2.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Etapa 2.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2) u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Etapa 2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3)) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Etapa 2.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Etapa 2.10

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3)) u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.11

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.12

Reordene $u$ e $3$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.13

Mova $u$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.14

Reordene $u$ e $2$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 \cdot u \cdot u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.15

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 3 (u^{1} u) u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.16

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 3 (u^{1} u^{1}) u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 u^{1 + 1} u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.18

Some $1$ e $1$ .

$\int 3 u^{2} u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.19

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 3 (u^{2} u^{1}) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 u^{2 + 1} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.21

Some $2$ e $1$ .

$\int 3 u^{3} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.22

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.23

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 (u^{1} u) + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.24

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 (u^{1} u^{1}) + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 u^{3} + 9 u^{1 + 1} + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.26

Some $1$ e $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.27

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 (u^{1} u) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.28

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.29

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u^{1 + 1} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.30

Some $1$ e $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u^{2} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.31

Some $9 u^{2}$ e $2 u^{2}$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.32

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.33

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 (u^{1} u) + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.34

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.35

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{1 + 1} + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.36

Some $1$ e $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.37

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 9 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.38

Multiplique $9$ por $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 27 u + 3 \cdot 2 u d u$

Etapa 2.39

Multiplique $3$ por $2$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 27 u + 6 u d u$

Etapa 2.40

Some $27 u$ e $6 u$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 33 u d u$

Etapa 2.41

Some $11 u^{2}$ e $9 u^{2}$ .

$\int 3 u^{3} + 20 u^{2} + 33 u d u$

$\int 3 u^{3} + 20 u^{2} + 33 u d u$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 u^{3} d u + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int u^{3} d u + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Etapa 6

Como $20$ é constante com relação a $u$ , mova $20$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 \int u^{2} d u + \int 33 u d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 33 u d u$

Etapa 8

Como $33$ é constante com relação a $u$ , mova $33$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 \int u d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + 33 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + 33 \frac{u^{2}}{2} + C$

Etapa 10.2.2

Combine $33$ e $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{4}}{4} + \frac{20 {(x - 3)}^{3}}{3} + \frac{33 {(x - 3)}^{2}}{2} + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$\frac{3}{4} {(x - 3)}^{4} + \frac{20}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{33}{2} {(x - 3)}^{2} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$