Cálculo Exemplos

$e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Etapa 1

Escreva $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ como uma função.

$f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.2.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.2.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{- x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.3.10

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)$

Etapa 2.1.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)$

Etapa 2.1.4.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Etapa 2.1.4.8

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Etapa 2.1.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = - e^{- x} - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Etapa 2.1.5.2.2

Some $- e^{- x}$ e $2 e^{- x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x} + e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Etapa 2.1.5.2.3

Some $- 2 x e^{- x}$ e $e^{- x} (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.3.1

Mova $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) - 2 x e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Etapa 2.1.5.2.3.2

Some $- 2 x e^{- x}$ e $2 x e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + 0$

Etapa 2.1.5.2.4

Some $e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$ e $0$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$

Etapa 2.1.5.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + e^{- x}$

Etapa 2.1.5.4

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} e^{- x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.2.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.2.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.2.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Etapa 2.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 2.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 2.2.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 2.2.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Etapa 2.2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Etapa 2.2.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Etapa 2.2.4.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Etapa 2.2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Etapa 2.2.4.4

Reordene os fatores em $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $e^{- x}$ de $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $e^{- x}$ de $x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $e^{- x}$ de $- 2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) - e^{- x} = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.2.4

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x)$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.2.5

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Etapa 3.4

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 3.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.5

Defina $x^{2} - 2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $x^{2} - 2 x - 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.3

Some $4$ e $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.3

Some $4$ e $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.4.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.3

Some $4$ e $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $1 + \sqrt{2}$ em $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1 + \sqrt{2}$ na expressão.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- (1 + \sqrt{2})} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.8

Reescreva ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.9

Expanda $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.10.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.10.1.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.10.1.3

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.10.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.10.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.10.1.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.10.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.10.2

Some $1$ e $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.10.3

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Etapa 4.1.2.1.11

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.1.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.1.13

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $e^{- 1 - \sqrt{2}}$ e $2 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ e $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.2.3

Some $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ e $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $1 + \sqrt{2}$ em $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ é $(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

Etapa 4.3

Substitua $1 - \sqrt{2}$ em $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $1 - \sqrt{2}$ na expressão.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- (1 - \sqrt{2})} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.9

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.9.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.11

Reescreva ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.12

Expanda $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.13.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.2

Multiplique $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.4

Multiplique $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.13.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.4.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.4.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.13.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.13.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.2

Some $1$ e $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.13.3

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Etapa 4.3.2.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.1.15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.1.16

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.16.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + 1 \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.1.16.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.1.17

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Some $e^{- 1 + \sqrt{2}}$ e $2 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.2.2

Some $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ e $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.2.3

Subtraia $2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ de $- 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $1 - \sqrt{2}$ em $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ é $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}), (1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.51421356$ na expressão.

$f'' (- 0.51421356) = {(- 0.51421356)}^{2} e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.51421356$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{0.51421356} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $0.26441558$ por $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{0.51421356} - e^{- (- 0.51421356)}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $1.02842712$ por $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{- (- 0.51421356)}$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{0.51421356}$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 6.2.2.1

Some $0.44218821$ e $1.71986213$ .

$f'' (- 0.51421356) = 2.16205035 - e^{0.51421356}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $e^{0.51421356}$ de $2.16205035$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.48972754$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.48972754$ .

$0.48972754$

Etapa 6.3

Em $- 0.51421356$ , a segunda derivada é $0.48972754$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ .

Acréscimo em $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = {(1)}^{2} e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$f'' (1) = 1 e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $e^{- (1)}$ por $1$ .

$f'' (1) = e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (1) = e^{- 1} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- 1} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot \frac{1}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.8

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e^{1}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} + \frac{- 2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.10

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{{2.71828182}^{1}} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.11

Eleve $2.71828182$ à potência de $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{2.71828182} - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.12

Divida $2$ por $2.71828182$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 1 \cdot 0.73575888 - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.13

Multiplique $- 1$ por $0.73575888$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- (1)}$

Etapa 7.2.1.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- 1}$

Etapa 7.2.1.15

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - \frac{1}{e^{1}}$

Etapa 7.2.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{1 - 1}{e^{1}}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{0}{e^{1}}$

Etapa 7.2.2.2.2

Divida $0$ por $e^{1}$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + 0$

Etapa 7.2.2.2.3

Some $- 0.73575888$ e $0$ .

$f'' (1) = - 0.73575888$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 0.73575888$ .

$- 0.73575888$

Etapa 7.3

Em $1$ , a segunda derivada é $- 0.73575888$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ .

Decréscimo em $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2.51421356$ na expressão.

$f'' (2.51421356) = {(2.51421356)}^{2} e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $2.51421356$ à potência de $2$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- 2.51421356} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 (\frac{1}{e^{2.51421356}}) - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.4

Combine $6.32126983$ e $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{e^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.5

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{{2.71828182}^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.6

Eleve $2.71828182$ à potência de $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{12.35688703} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.7

Divida $6.32126983$ por $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.8

Multiplique $- 2$ por $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- 2.51421356} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot \frac{1}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.11

Combine $- 5.02842712$ e $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 + \frac{- 5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.13

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{{2.71828182}^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.14

Eleve $2.71828182$ à potência de $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{12.35688703} - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.15

Divida $5.02842712$ por $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 1 \cdot 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.16

Multiplique $- 1$ por $0.40693316$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

Etapa 8.2.1.17

Multiplique $- 1$ por $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- 2.51421356}$

Etapa 8.2.1.18

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $0.40693316$ de $0.51155843$ .

$f'' (2.51421356) = 0.10462527 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ de $0.10462527$ .

$f'' (2.51421356) = 0.02369874$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $0.02369874$ .

$0.02369874$

Etapa 8.3

Em $2.51421356$ , a segunda derivada é $0.02369874$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ .

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

Etapa 10