Cálculo Exemplos

$y^{x y}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = y$ e $g = x y$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y \cdot y^{x y - 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 2

Multiplique $y$ por $y^{x y - 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $y^{x y - 1}$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y)) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 2.2

Multiplique $y^{x y - 1}$ por $y$ .

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Etapa 2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y^{1})) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y - 1 + 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 2.3

Combine os termos opostos em $x y - 1 + 1$ .

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Etapa 2.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y + 0}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 2.3.2

Some $x y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Multiplique $x$ por $0$ .

$0 y^{x y} + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 4.2

Multiplique $0$ por $y^{x y}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$ .

$\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 5

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] (y^{x y} \ln (y))$

Etapa 6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{x y} y^{1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{x y + 1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y^{x y + 1} \cdot 1 \ln (y)$

Etapa 9

Multiplique $y^{x y + 1}$ por $1$ .

$y^{x y + 1} \ln (y)$