Cálculo Exemplos

$\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 6

Deixe $u = 5 - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u = 5 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $5 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x]$

Etapa 6.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 6.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 6.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 7.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 11.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 11.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 11.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 11.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 13

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 15

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 16

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 16.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 16.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Etapa 17

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Etapa 18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Simplifique.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Etapa 18.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Etapa 18.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Etapa 18.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Etapa 19

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - 2 x$ .

$- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Etapa 20

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$