Cálculo Exemplos

$e^{- 3 x} - 4 x + 50$

Etapa 1

Escreva $e^{- 3 x} - 4 x + 50$ como uma função.

$f (x) = e^{- 3 x} - 4 x + 50$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int e^{- 3 x} - 4 x + 50 d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int e^{- 3 x} d x + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Etapa 5

Deixe $u = - 3 x$ . Depois, $d u = - 3 d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = - 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 5.1.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Etapa 6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Etapa 10

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 \int x d x + \int 50 d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 50 d x$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 50 x + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 50 x + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

$- \frac{e^{u}}{3} - 2 x^{2} + 50 x + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x$ .

$- \frac{e^{- 3 x}}{3} - 2 x^{2} + 50 x + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - 2 x^{2} + 50 x + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = e^{- 3 x} - 4 x + 50$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - 2 x^{2} + 50 x + C$